作者：一木不

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我们在此讨论SFT、Off-Policy Distillation、RL、On-Policy Distillation之间的联系和区别。

• 在RL没火的时候，我们提到distillation几乎都是Off-Policy Distillation。SFT和Off-Policy Distillation都是Off-Policy的，并且Off-Policy Distillation训出的模型肯定比SFT好。

• RL火了之后，我们提到distillation逐渐变成了全部都是On-Policy Distillation。RL和On-Policy Distillation 都是On-Policy的，并且On-Policy Distillation比RL更有优势。

Off-Policy Distillation到On-Policy Disitllation好理解，核心区别是student策略和teacher策略在不同的数据集下进行对齐。SFT到RL怎么理解呢？我的想法是RL相当于On-Policy SFT，可以从策略梯度上得到论证。

01 Objective回顾

1. SFT（Off-Policy SFT）

SFT的objective旨在最大化在Off-Policy数据集上的负对数似然：

展开有：

2. Off-Policy Distillation

Off-Policy Distillation旨在最小化学生策略  与教师策略  在固定数据集  上的KL散度：

展开有：

KL散度很多种，也有很多研究，最常见的是Forward KLD。在Forward KLD下，KL散度等价为交叉熵：

3. RL (本质上是On-Policy SFT)

RL的objective是最大化在一个环境下的奖励：

特别地，GRPO的reward估计采用sequence-level的组内优势：

其中  是重要性采样比率。

4. On-Policy Distillation

On-Policy Distillation旨在最小化学生策略  与教师策略  在学生策略自身生成的轨迹分布上的KL散度：

展开为：

采用Forward KL，但是有策略梯度不能直接写成CE：

但是On-Policy通常不考虑这一项策略梯度（认为采样过程是stop gradient的），于是：

02 梯度对比

直观上上面四个目标联系少，我们从梯度的角度考虑四个的关系

1. SFT

Objective:

梯度推导：

2. Off-Policy Distillation

Objective：

梯度推导：

3. RL

Objective:

梯度推导（策略梯度定理，分布中有 θ ）：

GRPO：

其中  是t时刻的(组内)优势估计。

4. On-Policy Distillation

Objective：

梯度推导（策略梯度定理，分布中有 θ ）：

记

理论上上面是KL，但是简化成CE了。则梯度可以化简为：

但是第一项通常不优化（采样过程在蒸馏下被认为是stop gradient的），因此：

5. 结论

SFT与Off-Policy Distillation：在  的基础上，SFT直接使用one-hot，Off-Policy Disitllation则是使用教师模型输出的分布进行加权。

RL与On-Policy Distillation：RL直接使用Reward对  进行one-hot加权，只有被采样到的才有reward，而On-Policy Distillation则更加密集。

【注】：本文讨论Forward KL，因此是使用teacher加权，如果是Reverse KL则是student加权，并且后面还会有一项。

03 将梯度统一到On-Policy下

SFT和Off-Policy Distillation的期望都是从Off-Policy的Data中采样，和On-Policy不太可比，因此我们使用重要性采样进行变形：

其中  是指示函数。

SFT 梯度可重写为：

Off-Policy Distillation梯度可重写为：

RL的梯度为：

On-Policy Distillation的梯度为：

所以上面四个目标的不同之处在于，  前面的内容不同。SFT和RL是稀疏的，Distillation是稠密的。SFT可以视为奖励模型是  的稀疏RL [4]。

04 补充在Reverse KL下Distillation策略的梯度

Off-Policy Distillation梯度可重写为：

On-Policy Distillation的梯度为：

也是含有  ，只是前面所有的加权不一样。

Reference

[1] Self-Distilled Reasoner: On-Policy Self-Distillation for Large Language Models（On-policy和SFT）

[2] Self-Distillation Enables Continual Learning（On-policy和SFT）

[3] Reinforcement Learning via Self-Distillation（On-policy和RL）

[4] On the Generalization of SFT: A Reinforcement Learning Perspective with Reward Rectification（SFT和RL）